Costruire i vertici A, B, C di un triangolo di cui si conoscono l'incentro I, il circumcentro O e il piede Ta della bisettrice uscente da A.
Sono tornato indietro su questo problema perché ha solo 6 soluzioni e quindi deve aver impegnato abbastanza i risolutori. La prima cosa facile da costruire è la retta che contiene A ed è la bisettrice A-Ta, come si vede nella figura sottostante.
Per la soluzione analitica, mi è sembrato naturale fissare l'asse x sulla retta I-Ta, e l'origine in Ta, e di utilizzare come unica incognita la distanza A-Ta, cosicché i punti della figura hanno queste coordinate: Ta(0,0) , I(t,0) , O(p,q), A(0,a) con a incognito. (vedi figura sottostante)
Una volta fissato A si può disegnare il cerchio circoscritto che incontra la bisettrice I-Ta nel punto A'. La retta BC deve passare per Ta, ma con quale direzione? Bisogna tenere conto che in A' si incontrano la bisettrice e l'asse di BC, che passa per O, e quindi BC deve essere perpendicolare ad OA'. In genere la bisettrice dell'angolo B del triangolo non passa per I, come si vede muovendo A. A questo punto la condizione naturale da porre sarebbe che I è equidistante da AB e BC, ma ho optato per un'altra, utilizzando una relazione famosa che lega i raggi dei cerchi inscritto (r) e circoscritto (R) alla distanza dei loro centri (d): $d^2=R^2-2Rr$: in rete si trova molto materiale su questo argomento, che di solito viene classificato come problema di Eulero, anche se altri l'avevano trovato decenni prima, e strettamente legato a questo è il porisma di Poncelet che dice che se due cerchi soddisfano la relazione appena menzionata, allora tutti i triangoli circoscritti a quello interno risultano inscritti in quello esterno (una dimostrazione chiara si può leggere qui). Nella figura soprastante il cerchio violetto interno è quello che soddisfa la relazione, e si nota che non risulta inscritto nel triangolo se non quando A si trova nella posizione corretta. La distanza dei centri OI è nota e la indico con d. Il raggio del cerchio circoscritto è $R=\sqrt{(a-p)^2+q^2}$. Quello del cerchio inscritto è la distanza di I dalla retta BC: dopo averlo calcolato, ho voluto controllare se Geometry Expressions è in grado, come promette, di fare altrettanto, e quello che risulta si vede nella prossima figura.
Effettivamente lo fa e la risposta è $r=\frac{t \cdot (a-p)}{\sqrt{(a-p)^2+q^2}}$ (i valori assoluti sono opportuni e indica la bontà del software, ma li ho tolti perché nella mia figura non servivano). E' un programma veramente interessante, che fornisce anche le equazioni delle curve, dei luoghi e degli inviluppi, il tutto in maniera simbolica (l'unico difetto è che costa qualcosa, ma si può avere una demo che dura un mese e c'è anche una versione online con qualche optional in meno).
L'equazione che risulta, dopo banale semplificazione, è $d^2=(a-p)^2+q^2-2 \cdot t \cdot (a-p)$ da risolvere rispetto ad a. Le soluzioni sono $a=p+t \pm \sqrt{d^2-q^2+t^2}$, facilmente costruibili, di cui quella col + va bene nella nostra figura. In termini di segmenti della figura viene $\overline{TaA}=\overline{TaO'}+\overline{TaI} \pm \sqrt {\overline{O'I}^2+\overline{TaI}^2}$.
Questa è probabilmente la costruzione più semplice e dubito che da consideraziioni sintetiche se ne possano trovare di più immediate.