Peregrinazioni geometriche #5
Problema 26
Questo problema è stato pubblicato il 16/01/2005, ha 29 soluzioni e livello 3,5. Il testo è questo:
Sono date le rette incidenti a e b e un punto A non appartenente ad esse. Trovare sulla retta a il punto (rosso) equidistante dalla retta b e dal punto A.
La figura (interattiva) in Geogebra può essere questa:
Per la soluzione analitica la prima osservazione è che il luogo dei punti equidistanti dal punto A e dalla retta b è una parabola col fuoco in A e la retta b come direttrice. Quindi il punto cercato è un'intersezione della parabola con la retta a (problema proposto al numero 33). Per la soluzione ho posto l'origine degli assi nel vertice V della parabola e l'asse x parallelo alla direttrice in modo da avere un'equazione semplice: $y=\frac{x^2}{2p}$ essendo p la distanza del fuoco A dalla direttrice b. La retta avendo equazione $y=mx+q$ e risolvendo il sistema si trovano due soluzioni di cui quella cercata è $x=mp-\sqrt{\left(mp\right)^2+2qp}$ (viene negativa perché è quella a sinistra dell'origine). La costruzione è semplice e mostrata nella prossima figura.
Per la soluzione sintetica ricordo che a suo tempo questo fu il primo problema che non riuscivo a risolvere, finché non realizzai che si poteva riformulare anche così: costruire il cerchio tangente alla retta b e passante per A e per il suo simmetrico rispetto alla retta a, che in Geometriagon compare come problema 34. Non che così diventasse più semplice, ma riconobbi che era uno dei dieci problemi di Apollonio sulle tangenze: su questi esiste una vasta letteratura, con la proposta di molte soluzioni diverse, però avevo letto che il primo dei moderni a stampare una soluzione con riga e compasso era stato Viète e quindi andai a vedere come aveva proceduto. Lo scritto si intitola Apollonius Gallus e intende mostrare al collega belga Adriano Romano, che aveva risolto i problemi con l'intersezione di coniche, che si può fare anche con riga e compasso. Si tratta realmente di un pezzo di bravura di una persona geniale e merita un'occhiata. Il nostro problema è il secondo e si può vedere nella figura qui sotto.
Tradotto in modo un po' libero, suona così:
Problema II
Dati due punti, e una linea retta, per i punti dati descrivere un cerchio, che sia tangente alla retta data.
(prima tratta il caso banale in cui la retta è parallela alla retta dei due punti) e poi continua così:
Perché se la retta AB non è parallela a CZ, e si incontrino entrambe in E, si sechi EZ in C, in modo che EB*EA=EC2, e per i punti ABC si descriva un cerchio. Perciò esso sarà tangente alla retta ECZ per il lemma esposto sopra. (tralascio il resto e il lemma precedente, perché si tratta di una nota proprietà della tangente)
Si tratta di una costruzione semplice, che va bene anche per trovare le intersezioni di una parabola con una retta.
La figura qui sotto mostra i passi della costruzione (adattata al nostro problema).
Se avessimo costruito EC dall'altra parte rispetto ad E, avremmo trovato l'altra intersezione della parabola con la retta.
Quello che mi ha sorpreso è che qualcuno ha postato una soluzione diversa e forse anche più semplice, basata sull'omotetia. La mostro nella figura seguente.